分类器的性能评估

1. 背景

当我们使用一个分类器进行预测时,我们会遇到一个很重要的问题:如何评价这个分类器的预测效果?这里我构造一个场景作为例子来说明。

现在有10个人,其中1个人有感冒症状,9个人没有感冒症状。现在让医生进行诊断,判断哪些人有感冒,哪些人没有?

医生A的诊断结果是:原本有感冒的那个人被诊断为没有感冒,而没有感冒的9个人当中有8个人被正确判定,有1个人被误诊为有感冒。

在这个例子中,医生就相当于一个分类器,我们现在要对他的诊断结果进行评估。通常情况下,我们可能会使用准确率(accuracy)对预测效果进行评估,准确率被定义为:对于给定的测试数据集,分类器正确分类的样本数与总样本数之比。

因此,医生A的正确率为:$8/10 = 80\%$。

假设另外一个医生B,他未经思考,将所有人都判定为没有感冒,而他的准确率为:$9/10 = 90\%$。显然,仅仅通过准确率来评估医生的诊断结果是不靠谱的,这时,我们就需要使用其他指标进行评估了。在本文中,我们主要讨论二分类器的性能评估。

2. 混淆矩阵

混淆矩阵(Confusion Matrix)用于把实际样本值(true class)和模型预测值(predicted class)进行联列表分析。在二类分类的问题中,我们一般会把样本分为正类(或正例)和负类(负例),正类通常指我们在分类问题中所关注的类,比如在上面的例子中,感冒是我们所关注的,因此它是正类。一般我们可以用-1表示负类,+1表示正类。

-1 (实际) +1 (实际)
-1(预测) True negative (TN 真负例) False negative(FN假负例)
+1(预测) False positive(FP假正例) True positive (TP真正例)

其中,各个数据的含义如下:

含义
TN 模型将负类(实际)预测为负类的样本数
FN 模型将正类(实际)预测为负类的样本数
FP 模型将负类(实际)预测为正类的样本数
TP 模型将正类(实际)预测为正类的样本数

由上面的表格可以知道,实际样本的的负类数为$N=TN+FP$;正类数为$P=FN+TP$;总样本数为$C = N + p$。

对于上面的例子,我们可以用如下表格展示医生A的诊断结果:

-1 (实际没有感冒) +1 (实际有感冒)
-1(预测没有感冒) 8 (TN 真负例) 1(FN假负例)
+1(预测有感冒) 1(FP假正例) 0 (TP真正例)

下面,我们给出一些指标的形式化定义:

  • 准确率(accuracy)
    $$
    accuracy = \frac{TP + TN}{P + N}
    $$
    准确率用于描述模型正确分类的样本数与总样本数之比。
  • 精确率(precision)
    $$
    precision = \frac{TP}{TP + FP}
    $$
    精确率用于描述模型预测正确的正样本数(TP)与模型预测的正样本数(TP+FP)之比,可以衡量模型预测正样本的准确性。
  • 召回率(recall)
    $$
    recall = \frac{TP}{TP + FN}
    $$
    召回率用于描述模型预测正确的正样本数(TP)与实际正样本数(TP+FN)之比,可以衡量模型预测正样本的可信性。
  • F1-measure
    精确率和召回率可以合并成为另一个度量,称为$F_1$度量,它是精确率和召回率的调和均值:
    $$
    \frac{2}{F_1} = \frac{1}{precision} + \frac{1}{recall}
    $$
    $$
    F_1 = \frac{2TP}{2TP + FP + FN}
    $$
    F1指标用于综合考虑精确率和召回率。

3. ROC曲线

除了使用上面的准确率、精确率等指标,针对只关注正例的分类器指标,更常用的是ROC(Receiver Operating Characteristic,受试者特征)曲线和AUC(Area Under Curve)。

在定义ROC之前,我们先定义以下两个指标:

  • False Positive Rate(FRP,假正率)
    FRP用于描述在所有实际为负例(N=TN+FP)的样本中,被错误地判断为正例(FP)的比例,即
    $$
    FPR = \frac{FP}{FP + TN}
    $$
  • True Positive Rate(TPR,真正率)
    TPR用于描述在所有实际为正例(P=TP+FN)的样本中,被正确地判断为正例(TP)的比例,即
    $$
    TPR = \frac{TP}{TP+FN}
    $$

对于二类分类的问题,一些分类器得到的结果往往不是0,1或-1,+1这样的标签,比如逻辑斯谛回归,它会得到一个概率值,通过与设定的阈值进行比较,可以0,1这样的标签。我们改变分类器的阈值,每改变一次,就会得到一对$FPR$和$TPR$的值,以$FPR$为横轴,$TPR$为纵轴,就得到如下的ROC空间:


ROC
图片来源:修改自wikipedia

我们可以看出,左上角的点(FPR=0,TPR=1),为完美分类;对角线上方的点(TPR > FPR),比如点A表示分类大体是正确的;而对角线上的点(TPR=FPR),比如点B,表示错一半,对一半;而对角线下方的点(TPR < FPR),比如点C表示分类大体是错误的。ROC曲线距离左上角越近,则分类器的效果越好。使用ROC曲线来衡量所考虑的目的是:在尽量少的”误诊“(假正率FPR)基础上,尽可能多地检验出正例的个体(真正率TPR)

4. AUC

如果ROC曲线经过点(0,1),即FPR=0,TPR=1,则表示为最优的分类器,然而绝大多数的ROC曲线并非如此,此时可通过引入ROC曲线下的面积AUC(Area Under Curve)来衡量不同模型间ROC曲线的表现情况。AUC面积越大,该模型的ROC曲线表现越好,模型越可用。

  • $AUC=1$
    完美分类器,能正确将正例和负例进行划分
  • $0.5 < AUC < 1$
    比随机猜测好,通过设定一个好的阈值,才能得到好的分类效果
  • $AUC=0.5$
    跟随机猜测一样,模型没有预测价值
  • $AUC < 0.5$
    比随机猜测差,在这种情况下,可以对结果取反

5. 参考资料